Projet de recherche

Mon travail de recherche se situe dans le cadre encore assez peu explore des groupes discrets d'isometries de l'espace hyperbolique complexe H n C, et en particulier des reseaux de PU(n; 1). Cet espace est l'une des deux occurrences (avec l'espace hyperbolique reel) d'un espace symetrique de rang 1 dans lequel la super-rigidite de Margulis ne s'applique pas. Mais, contrairement au cas reel, tres peu de choses sont connues sur ces sous-groupes discrets, a commencer par des exemples interessants. Rappelons que l'on connât dans le cas reel des groupes de re exions (voir les constructions de Vinberg, Makarov en petites dimensions), et que l'on dispose egalement par la construction de Gromov{Piatetski-Shapiro d'exemples de reseaux non-arithmetiques en toute dimension. Dans le cas de PU(n; 1), ces questions sont largement ouvertes, même dans les plus petites di-mensions. Ceci est du ̂ en grande partie au fait qu'il n'y a pas en geometrie hyperbolique complexe d'hypersurface (reelle) totalement geodesique, et en particulier pas de notion naturelle de polyedre ou de groupe de re exions analogue au cas hyperbolique reel (ou euclidien). Cette situation rend ardues non seulement les constructions de sous-groupes discrets dans PU(n; 1), mais aussi celles de domaines fondamentaux pour l'action d'un tel groupe. Les substituts possibles dont on dispose dans H n C sont les re exions complexes (ou C-re exions), isometries holomorphes xant une hypersurface complexe totalement geodesique (une copie de H n