Path decompositions for real Lévy processes

ABSTRACT. – Let X be a real Lévy process and let X ↑ be the process conditioned to stay positive. We assume that 0 is regular for (−∞,0) and (0,+∞) with respect to X. Using elementary excursion theory arguments, we provide a simple probabilistic description of the reversed paths of X and X ↑ at their first hitting time of (x,+∞) and last passage time of (−∞, x], on a fixed time interval [0, t], for a positive level x. From these reversion formulas, we derive an extension to general Lévy processes of Williams ’ decomposition theorems, Bismut’s decomposition of the excursion above the infimum and also several relations involving the reversed excursion under the maximum. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS RÉSUMÉ. – Soit X un processus de Lévy et X ↑ le même processus conditionné à rester positif. On suppose que 0 est régulier pour (−∞,0) et (0,+∞) par rapport à X. Par des arguments simples de théorie des excursions, nous décomposons la loi des trajectoires deX etX ↑ retournées aux temps d’entrée de (x,+∞) et de sortie de (−∞, x]. De ces formules de reversion, on déduit une extension au cas des processus de Lévy généraux, des théorèmes de décomposition de Williams, du théorème de décomposition de Bismut de l’excursion au dessus du minimum, ainsi que plusieurs relations faisant intervenir l’excursion sous le maximum retournée. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS 1