C 1+α -regularity for two-dimensional almost-minimal sets in R n

Résumé. On donne une démonstration différente et sans doute plus élémentaire d’une bonne partie du résultat de régularite ́ de Jean Taylor sur les ensembles presque-minimaux d’Almgren. On en profite pour donner des précisions sur les ensembles presque mini-maux, généraliser une partie du théorème de Taylor aux ensembles presque minimaux de dimension 2 dans Rn, et donner la caractérisation attendue des ensembles fermés E de dimension 2 dans R3 qui sont minimaux, au sens ou ̀ H2(E \ F) ≤ H2(F \ E) pour tout ferme ́ F tel qu’il existe une partie bornée B telle que F = E hors de B et F sépare les points de R3 \B qui sont séparés par E. Abstract. We give a different and probably more elementary proof of a good part of Jean Taylor’s regularity theorem for Almgren almost-minimal sets of dimension 2 in R3. We use this opportunity to settle some details about almost-minimal sets, extend a part of Taylor’s result to almost-minimal sets of dimension 2 in Rn, and give the expected characterization of the closed sets E of dimension 2 in R3 that are minimal, in the sense that H2(E \F) ≤ H2(F \E) for every closed set F such that there is a bounded set B so that F = E out of B and F separates points of R3 \B that E separates. AMS classification. 49K99, 49Q20. Key words. Minimal sets, Almgren restricted sets, Almost-minimal or quasiminimal sets