Van hove singularities in probability density functions of scalars

A general theory for the Probability Density Function (PDF) of a scalar stirred in an axisymmetric time-dependent flow is derived. This theory reveals singularities, discontinuities and cusps occurring as soon as the spatial gradient of the scalar concentration vanishes somewhere in the field. These singularities are similar to the Van Hove singularities obtained in the density of vibration modes of a crystal. This feature, ubiquitous in convection– diffusion problems, is documented experimentally for the mixing of a dye in a Lamb-Oseen vortex. Key words: mixing, singularities, PDF Résumé Singularités de Van Hove dans les densités de probabilite ́ d’un scalaire – Nous dérivons une théorie générale pour la Densite ́ de Probabilite ́ (PDF) d’un scalaire étire ́ dans un champ de vitesse axisymmétrique et dépendant du temps. Cette théorie révèle des singularités (discontinuités et cusps), qui apparaissent dès lors que le gradient spatial du scalaire s’annule en un endroit du champ. Ces singularités sont similaires aux singularités de Van Hove obtenue pour la densite ́ des modes de vibration d’un cristal. Ce phénomène, omniprésent dans les problèmes de diffusion–convection, est documente ́ expérimentalement pour le mélange d’un colorant dans un vortex de Lamb-Oseen. Mots-clés: mélange, singularités, PDF The interplay between molecular diffusion and simple deformation fields is a classical problem. It is solved in closed form in a variety of situations such as the saddle point flow, the simple shear in two dimensions [1,2,3], in three dimensions [4], and in the axisymmetric point vortex [5,6] or spreading vortex flow [7,8]. In particular, simple situations are liable of a complete description of the overall Probability Density Function (PDF) of the scalar concentration from the Fourier equation [9]