Comunicación Preliminar / Preliminary Communication A singular equation with positive and free boundary solutions

Abstract. Let 0 < β < 1. The equation −∆u = χ{u>0} ( − u−β + λf(x, u)) in Ω with Dirichlet boundary condition on ∂Ω has a maximal solution uλ ≥ 0 for every λ> 0. For λ less than a constant λ ∗ the solution vanishes inside the domain and for λ> λ ∗ the solution is positive and stable. We obtain optimal regularity of uλ even in the presence of a free boundary. If λ ≥ λ ∗ the solutions of the singular parabolic equation ut − ∆u + u−β = λf(u) are positive and globally defined while for 0 < λ < λ∗ there is no positive global solution. Soluciones positivas y con frontera libre de una ecuación singular Resumen. Para 0 < β < 1 consideramos la ecuación −∆u = χ{u>0} ( − u−β + λf(x, u)) en Ω con condición de borde tipo Dirichlet. Esta ecuación posee una solución maximal uλ ≥ 0 para todo λ> 0. Si λ es menor que una cierta constante λ∗, uλ se anula en el interior del dominio creando una frontera libre, y para λ> λ ∗ esta solución es positiva en Ω y estable. Establecemos la regularidad de uλ incluso en presencia de una frontera libre. Para λ ≥ λ ∗ la solución del problema parabólico singular ut − ∆u + u−β = λf(u) es global y positiva mientras que si 0 < λ < λ ∗ no existe solución global positiva. 1