J. Math Pures et Appliquées, 81 (2002), 9, p. 885–914 A nonlinear Klein-Gordon equation on

We consider the non linear Klein-Gordon equation u + m2u + λ|u|2u = 0, with λ ≥ 0, outside a Kerr black hole. We solve the global Cauchy problem for large data with minimum regularity. Then, using a Penrose compactification, we prove, in the massless case, the existence of smooth asymptotic profiles and Sommerfeld radiation conditions, at the horizon and at null infinity, for smooth solutions. Résumé Nous considérons l’équation de Klein-Gordon non linéaire u + m2u + λ|u|2u = 0, avec λ ≥ 0, a ̀ l’extérieur d’un trou noir de Kerr. Nous résolvons le problème de Cauchy global pour des données initiales grandes et de régularite ́ minimale. Ensuite, a ̀ l’aide d’une compactification de Penrose, nous établissons dans le cas sans masse l’existence de profils asymptotiques réguliers et de conditions de radiation de type Sommerfeld, a ̀ l’horizon du trou noir et a ̀ l’infini isotrope, pour les solutions régulières.