How to predict accurate wavelet grids in adaptive semi-Lagrangian schemes

Résumé. Je présente dans cet article un nouveau schéma semi-Lagrangien a ̀ base d’ondelettes pour l’approximation de problèmes de transport associés a ̀ des flots réguliers. Cette méthode s’inspire de celle proposée par Besse, Filbet, Gutnic, Paun et Sonnendrücker [1], mais s’en distingue notamment par le fait qu’elle s’articule autour de la notion de bonne adaptation d’un arbre d’ondelettes a ̀ une fonction donnée. De plus, elle s’accompagne d’une estimation d’erreur a priori. Dans un travail précédent effectue ́ en collaboration avec Mehrenberger [3], nous avions conçu un premier schéma adaptatif semi-Lagrangien base ́ sur des maillages multi-échelles et hiérarchiques. Notre méthode consistait a ̀ prédire un nouveau maillage a ̀ chaque pas de temps par une stratégie peu coûteuse, puis a ̀ le réadapter suivant la régularite ́ de la solution numérique transportée. Par une anal-yse rigoureuse, nous avions établi qu’une simple application de notre algorithme de prédiction et de correction suffisait a ̀ garantir une estimation d’erreur a priori. Le schéma présente ́ ici met en œuvre des idées semblables, mais dans un cadre différent. La propriété d’être (fortement) bien adaptate ́ a ̀ une fonction donnée est donc redéfinie pour des arbres d’ondelettes, et l’on peut montrer qu’elle est (faiblement) préservée par une stratégie de prédiction, toujours peu coûteuse, qui transporte les grilles d’ondelettes le long de flots réguliers. En conséquence, il est possibl