Cours de M2: Star products, deformation quantization and Toeplitz operators

Dans ce cours nous décrivons la théorie des star-produits, les méthodes qu’elle utilise, ainsi que les exemples les plus utiles. Les star produits ont été inventés (cf. en particulier dans [6]) pour décrire comment une algèbre commu-tative, par exemple l’algèbre des fonctions différentiables sur une variété, ou un algèbre “d’observables ” de la physique classique, se déforme en une algèbre non commutative. Ils servent a ̀ décrire comment la mécanique classique hamiltoni-enne est limite de la mécanique quantique (analyse semi-classique). Le calcul des opérateurs pseudo-différentiels a éte ́ développe ́ a ̀ partir de 1965 par de nombreux auteurs: il donne lieu a ̀ un calcul asymptotique “algébrique ” essentiellement identique a ̀ celui des star-produits (opérateurs pseudo-différentiels, opérateurs de Toeplitz, analyse microlocale). Ce calcul fournit des solutions asymptotiques, par exemple des développements asymptotiques aux hautes fréquences de solu-tions d’équations aux dérivées partielles; il explique bien par exemple comment l’optique géométrique est limite de l’optique ondulatoire. Dans ce calcul le rôle du petit paramètre de déformation est joue ́ par la taille d’une petite longueu