Ray transforms in hyperbolic geometry

We derive explicit inversion formulae for the attenuated geodesic and horocyclic ray transforms of functions and vector fields on two-dimensional manifolds equipped with the hyperbolic metric. The inversion formulae are based on a suitable complexification of the associated vector fields so as to recast the reconstruction as a Riemann Hilbert problem. The inversion formulae have a very similar structure to their counterparts in Euclidean geometry and may therefore be amenable to efficient discretizations and numerical inversions. An important field of application is geophysical imaging when absorption effects are accounted for. Résumé Nous présentons des formules d’inversion explicites permettant la reconstruction de fonctions et de champs de vecteurs a ̀ partir de leur intégration le long des géodésiques ou des horocycles associés a ̀ une métrique hyperbolique en dimension deux d’espace. L’intégration peut contenir un poids tenant compte de phénomènes d’absorption. La méthode de reconstruction se fonde sur une complexification des champs de vecteurs associés a ̀ ces intégrales et écrits dans un système de coordonnées adapté, de manière a ̀ ce que l’inversion se ramène a ̀ résoudre un problème de type Riemann-Hilbert. Les formules d’inversion obtenues ont une structure très proche de celle que l’on connait en géométrie euclidienne, ce qui devrait en permettre une discrétisation numérique aisée. Le principal domaine d’application de cette inversion est l’imagerie en géophysique lorsque l’absorption de l’énergie mesurée est prise en compte