Variable-step variable-order 3-stage Hermite-Birkhoff-Obrechkoff ODE solver of order 4 to 14

Abstract. Variable-step variable-order 3-stage Hermite–Birkhoff (HB) meth-ods HB(p)3 of order p = 5 to 15 are constructed for solving non-stiff differential equations. Forcing a Taylor expansion of the numerical solution to agree with an expansion of the true solution leads to multistep and Runge–Kutta type order conditions which are reorganized into linear confluent Vandermonde-type sys-tems of HB type. Fast algorithms are developed for solving these systems in O(p2) operations to obtain HB interpolation polynomials in terms of generalized Lagrange basis functions. The stability regions of the HB methods have a re-markably good shape. The order and stepsize of these methods are controlled by four local error estimators. When programmed in C++, HB(p)3 uses less CPU time than Dormand–Prince DP(8,7)13M in solving costly problems at stringent tolerance. Résumé. On construit un solveur d’Hermite–Birkhoff (HB) a ̀ 3 étages a ̀ pas et ordre variables, nomme ́ HB(p)3, d’ordre p = 5 a ̀ 15, pour systèmes d’équations différentielles non raides y ′ = f(x, y), y(x0) = y0. En identifiant les développe-ments de Taylor tronqués des solutions exacte et numérique on obtient des con-ditions d’ordre du type Runge–Kutta qu’on réorganise en systèmes linéaires de Vandermonde confluents de type HB qu’on résout en O(p2) opérations au moyen de nouveaux algorithmes rapides qui donnent lieu a ̀ des polynômes d’interpolation HB sur une base de fonctions de Lagrange généralisées. La forme des domaines de stabilite ́ absolue des méthodes HB est remarquable. On contrôle l’ordre et le pas au moyen de 4 estimateurs de l’erreur locale. Programme ́ en C++, HB(p)3 résout des prolèmes coûteux a ̀ tolérance serrée plus rapidement que Dormand– Prince DP(8,7)13M. 1