Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds

Abstract. Let M ◦ be a complete noncompact manifold of dimension at least 3 and g an asymptotically conic metric on M◦, in the sense that M ◦ compact-ifies to a manifold with boundary M so that g becomes a scattering metric on M. We study the resolvent kernel (P + k2)−1 and Riesz transform T of the operator P = ∆g + V, where ∆g is the positive Laplacian associated to g and V is a real potential function smooth on M and vanishing at the boundary. In our first paper we assumed that P has neither zero modes nor a zero-resonance and showed (i) that the resolvent kernel is polyhomogeneous conor-mal on a blown up version of M2 × [0, k0], and (ii) T is bounded on Lp(M◦) for 1 < p < n, which range is sharp unless V ≡ 0 and M ◦ has only one end. In the present paper, we perform a similar analysis allowing zero modes and zero-resonances. We show once again that (unless n = 4 and there is a zero-resonance) the resolvent kernel is polyhomogeneous on the same space, and we find the precise range of p (generically n/(n − 2) < p < n/3) for which T is bounded on Lp(M) when zero modes are present. Soit M ◦ une variéte ́ complète de dimension n ≥ 3 et g une métrique asymp-totiquement conique sur M◦, au sens ou ̀ M ◦ se compactifie en une variéte ́ à bord M telle que g soit une métrique de type “scattering ” sur M. On étudie le noyau intégral de la résolvante (P + k2)−1 et la transformée de Riesz T de l’opérateur P = ∆g + V, ou ̀ ∆g est le laplacien positif associe ́ a ̀ g et V un potentiel réel, lisse sur M et s’annulant au bord. Dans le premier article nous avons suppose ́ que 0 n’est ni résonance ni valeur propre pour P et montre ́ (i) que le noyau de la résolvante est conormal polyhomogène sur une version éclatée de M2 × [0, k0], et (ii) que T est borné sur Lp(M◦) pour 1 < p < n, ce qui optimal sauf si V ≡ 0 ou M ◦ a seulement un bout. Dans le présent article, on effectue une analyse similaire tout en autorisant les cas ou ̀ 0 est résonance ou valeur propre. On montre la ̀ encore (sauf si n = 4 et 0 est résonance) que le noyau de la résolvante est polyhomogène sur le même espace, et on donne l’intervalle de p (génériquement n/(n−2) < p < n/3) pour lequel T est borne ́ sur Lp(M) quand 0 est valeur propre. 1