A Proof of Stanley’s Open Problem

In the open problem session of the FPSAC’03, R.P. Stanley gave an open problem about a certain sum of the Schur functions (See [19]). The purpose of this paper is to give a proof of this open problem. The proof consists of three steps. At the first step we express the sum by a Pfaffian as an application of our minor summation formula ([7]). In the second step we prove a Pfaffian analogue of Cauchy type identity which generalize [22]. Then we give a proof of Stanley’s open problem in Section 4. We also present certain corollaries obtained from this identity involving the Big Schur functions and some polynomials arising from the Macdonald polynomials, which generalize Stanley’s open problem. Résumé Dans la session de problèmes de SFCA’03, Stanley a pose ́ un problème ouvert sur certaine somme de fonctions de Schur (voir [19]). Le but de cet article est de résoudre ce problème ouvert. La preuve consiste en trois étapes. Premièrement on exprime cette somme comme un Pfaffien en ap-pliquant notre formule de sommation de mineurs [7]. Deuxièmement on démontre un analogue Pfaffien de l’identite ́ de type Cauchy, qui généralise une identite ́ de Sunquist [22]. Et puis on résoud le probème ouvert de Stanley dans la Section 4. On présente aussi quelques corollaires de cette identite ́ impliquant les grandes fonctions de Schur et des polynômes ap-paraissant dans l’étude des polynômes de Macdonald, qui généralise le problème originel de Stanley