Finite quantum groups over abelian groups of prime exponent

ABSTRACT. – We classify pointed finite-dimensional complex Hopf algebras whose group of group-like elements is abelian of prime exponent p, p> 17. The Hopf algebras we find are members of a general family of pointed Hopf algebras we construct from Dynkin diagrams. As special cases of our construction we obtain all the Frobenius–Lusztig kernels of semisimple Lie algebras and their parabolic subalgebras. An important step in the classification result is to show that all these Hopf algebras are generated by group-like and skew-primitive elements. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS RÉSUMÉ. – Nous classifions les algèbres de Hopf complexes de dimension finie dont le groupe des éléments groupoïdaux est abélien d’exposant premier p, p> 17. Les algèbres de Hopf que nous trouvons appartiennent à une famille d’algèbres de Hopf pointées que nous construisons à partir de diagrammes de Dynkin. Comme cas particuliers de notre construction nous obtenons tous les noyaux de Frobenius– Lusztig des algèbres de Lie semi-simples et leurs sous-algèbres paraboliques. Une étape importante dans notre classification consiste à montrer que toutes ces algèbres de Hopf sont engendrées par des éléments groupoïdaux et des éléments primitifs tordus. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS 1