Universidad de Los Andes Exact Controllability for Semilinear Difference Equation and Application.

In this paper we study the exact controllability of the following semilinear difference equation z(n+ 1) = A(n)z(n) +B(n)u(n) + f(z(n), u(n)), n ∈ IN z(n) ∈ Z, u(n) ∈ U, where Z, U are Hilbert spaces, A ∈ l∞(IN,L(Z)), B ∈ l∞(IN,L(U,Z)), u ∈ l2(IN,U) and the nonlinear term f: Z × U − → Z satisfies: ‖f(z2, u2) − f(z1, u1) ‖ ≤ L{‖z2 − z1‖+ ‖u2 − u1‖}. We prove the following statement: If the linear equation is exactly controllable and L << 1, then the nonlinear equation is also exactly controllable. That it to say, the controllability of the linear equation is preserved under nonlinear perturbation f(z, u). Finally, we apply this result to a discrete version of the semilinear wave equation. Resumen En este articulo estudiamos la controlabilidad exacta de la siguiente ecuación en diferencias semilineal z(n+ 1) = A(n)z(n) +B(n)u(n) + f(z(n), u(n)), n ∈ IN∗ z(n) ∈ Z, u(n) ∈ U, donde Z, U son espacios de Hilbert, IN ∗ = IN ∪ {0}, A ∈ l∞(IN,L(Z)), B ∈ l∞(IN,L(U,Z)), u ∈ l2(IN,U) y el termino no lineal f: Z × U − → Z satisface: ‖f(z2, u2) − f(z1, u1) ‖ ≤ L{‖z2 − z1‖+ ‖u2 − u1‖}. Probamos la siguiente afirmación: Si la ecuación lineal es exactamente controlable y L << 1, entonces ecuación no lineal es también exactamente controlable. Es decir, la controlabilidad de la ecuación lineal se preserva bajo la perturbación no lineal f(z, u). Finalmente, aplicamos este resultado a una versión discreta de la ecuación del calor semilineal. key words. difference equations, exact controllability, wave equation