F.: New asymptotic profiles of nonstationnary solutions of the Navier–Stokes system

We show that solutions u(x, t) of the non-stationnary incompressible Navier–Stokes system in Rd (d ≥ 2) starting from mild decaying data a behave as |x | → ∞ as a potential field: u(x, t) = et∆a(x) + γd∇x h,k δh,k |x|2 − dxhxk d|x|d+2 Kh,k(t) + o ( 1|x|d+1 (i) where γd is a constant and Kh,k = ∫ t 0 (uh|uk)L2 is the energy matrix of the flow. We deduce that, for well localized data, and for small t and large enough |x|, c t |x|−(d+1) ≤ |u(x, t) | ≤ c ′ t |x|−(d+1), (ii) where the lower bound holds on the complementary of a set of directions, of arbitrary small measure on Sd−1. We also obtain new lower bounds for the large time decay of the weighted-Lp norms, extending previous results of Schonbek, Miyakawa, Bae and Jin. Nouveaux profils asymptotiques des solutions non-stationnaires de Navier-Stokes On montre que la solution u(x, t) de l’équation de Navier–Stokes incompressible dans Rd (d ≥ 2) issue d’une donnée de Cauchy générique et modérément décroissante a se comporte, pour |x | → ∞, comme un écoulement potentiel donné par la formule (i); γd est une constante et Kh,k = ∫ t 0 (uh|uk)L2 est la matrice d’énergie de l’écoulement. On en déduit que, si la donnée est bien localisée, le champ de vitesse vérifie (ii) pour t suffisament petit et |x | assez grand. La borne inférieure est valable sur le complémentaire d’un ensemble de directions, de mesure arbitrairement petite dans Sd−1. On obtient aussi de nouvelles bornes inférieures du taux de décroissance en temps grand des moments de la solution dans Lp qui étendent des résultats antérieurs de Schonbek, Miyakawa, Bae and Jin